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Forschung

Extrembiegung berechnet

5/2012 Oktober — Federstahldraht erlaubt große elastische Verformung. Die Berechnung ist äußerst aufwändig. Kraft­Weg­Kennlinien und Biegegrenzen bei großer Durchbiegung zu bestimmen, ist erst mit der nicht­linearen Biegetheorie möglich. Die Forschungsgruppe Draht und Federn der TU Ilmenau hat sie durchleuchtet.

Zwischen 2009 und 2011 hat die Forschungsgruppe Draht und Federn an der TU Ilmenau das IGF-Vorhaben 16217 BR "Funktions- und fertigungsrelevante Kennwerte für Federstahldraht und Federband" bearbeitet. Teilaufgabe war der Themenkomplex "Biegung von Federstahldraht". Dieser ist in der industriellen Praxis von großer Bedeutung, da alle kaltgeformten Federn und Drahtformbiegeteile durch Biegung ihre Form erhalten. Ist zusätzlich das Biegeverhalten funktionsrelevant, ist die genaue Kenntnis der Parameter Federbiegegrenze und Biege-E-Modul erforderlich. Zur Ermittlung dieser Parameter sind sowohl theoretische als auch experimentelle Forschungsarbeiten nötig. Zur experimentellen Überprüfung der Ergebnisse der nicht-linearen Biegetheorie und zur Ermittlung des Biege-E-Moduls wurde ein Drei-Punkt-Biegeversuchsstand aufgebaut.

Das Kraftmesssystem hat einen Messbereich bis 200 N. Die Anzeige des Positioniersystems löst bis in den Mikrometerbereich auf. Zur Verringerung des Reibungseinflusses werden an allen Berührungspunkten zum Draht Kugellager eingesetzt. Für den Drei-Punkt-Biegeversuchsstand gilt nachfolgendes physikalisches Modell.

Für das Intervall 0 < x < L/2 lautet die Gleichung der nicht-linearen Biegetheorie:

Die Symbole bedeuten:

Für das zweite Intervall gibt es eine entsprechende Differentialgleichung. Das nicht-lineare Differentialgleichungssystem wurde numerisch integriert. Als Lösungssoftware wurde MAPLE 12 verwendet. Damit können die Versuchsergebnisse (Kraft-Weg-Kennlinien) der extremen Biegungen mathematisch ausgewertet werden!

Die numerischen Lösungen des MAPLE-Programmes liegen in einer normierten Form vor, d.h., sie sind nicht von den Abmessungen des Versuchsstandes oder den Abmessungen der Versuchsobjekte abhängig! Damit ist eine weitgehende Allgemeingültigkeit der theoretischen Ergebnisse gesichert. Folgende Normierungen wurden verwendet:


Experimentelle Anwendung

Eine beispielhafte Anwendung der Theorie zeigt folgende Messung. Material des Messobjekts ist OTEVA 70, VDSiCr, Drahtdurchmesser d ist 2,992 mm. Die ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen Theorie und Messung zeigt das folgende Bild. Interessant ist auch, dass es ein Kraftmaximum gibt.

Zur praxistauglichen Verwendung der Ergebnisse der numerischen Integration des Differentialgleichungssystems in MAPLE wurde die normierte Lösung mittels einer Polynom-Approximation einer leichten Anwendung in Excel zugeführt. Die praxisgerechte Formel für die Kraft-Weg-Kennlinie für extreme Biegungen lautet:

Die Polynom-Approximation hat die Koeffizienten:

Fazit: Damit kann für eine geforderte Durchbiegung v am Kraftangriffspunkt die erforderliche Kraft F auch für extreme Biegungen berechnet werden.

Zur Berechnung der maximalen Biegespannung in der Randfaser (linearer Spannungsverlauf im Querschnitt) wurden die exakten numerischen Ergebnisse von MAPLE durch ein Polynom vierten Grades approximiert. Entsprechend den Normierungen nach MAPLE gilt für das Biegemoment die Gleichung

und somit für die Biegespannung in der Außenfaser

Die Größe m wurde mit MAPLE berechnet und in guter Approximation als Polynom vierten Grades zur Verfügung gestellt.

Das Polynom lautet:

Damit kann man nach einer experimentell ermittelten elastischen Verformung v die dazugehörige Biegespannung berechnen. Ist diese Verformung die maximal zulässige elastische Verformung, heißt die zugehörige Biegespannung die "Federbiegegrenze".

Zur Ermittlung des Biege-E-Moduls wird mit dem 3-Punkt-Biegeversuchsstand immer eine Kraft-Weg-Kennlinie bei kleinen Durchbiegungen aufgenommen. Aus dem Anstieg der Kraft-Weg-Kennlinie kann der E-Modul berechnet werden. Das Problem ist, dass aus der linearen Biegetheorie nur eine Formel für den geraden Stab zur Berechnung des E-Moduls vorliegt. Neu in diesem Beitrag ist die Angabe einer Formel für eine Messung an einem vorgekrümmten Stab - siehe Bild 8 -, z.B. also für patentiert gezogenen Draht oder nichtrostenden Draht.

Patentiert gezogene und nichtrostende Federstahldrähte sind auf Grund ihrer Herstellungstechnologie texturiert und vorgekrümmt. Es ist eine interessante Aufgabenstellung, den Biege-E-Modul auch am vorgekrümmten Draht zu ermitteln, um eine Eigenschaftsänderung durch einen Richtprozess zu vermeiden. Unter Nutzung von MAPLE wurde an der TU Ilmenau eine Formel entwickelt, die es gestattet, den E-Modul sowohl für gerade als auch für vorgekrümmte Stäbe zu berechnen. Ebenso wird auch der Einfluss der Kugellager berücksichtigt. Die Lösungsformel lautet:


Beispielmessung zum E-Modul

Nachfolgend ein Beispiel für die E-Modul-Messung an einem auf Kugellagern gelagerten vorgekrümmten Draht.

Material: Patentiert gezogener Federstahldraht, Sorte SH.

Aus der Ausgangslage (Nulllage) nach Bild 9 wird eine Kraft-Weg-Kennlinie nach Bild 10 aufgenommen. Zuerst bewegt sich das Kraftmesssystem von der Nulllinie bis zum Berühren des Drahtes, dann erfolgt die Verformung. Aus der Messung wird somit die Kreisabschnittshöhe u und der Anstieg der Kraft-Weg-Kennlinie ermittelt.

Versuchsbedingungen waren: Drahtsorte SH, d = 2,994 mm, Lagerparameter = 18,32*10-3.

Ergebnisse: Kreisabschnittshöhe u = 30,039 mm, Anstieg der Kraft-Weg-Kennlinie: 1,169 N/mm, Faktor W = 0,04942.

Damit folgt ein E-Modul von:

Mit den erreichten theoretischen Ergebnissen lassen sich nun auch die E-Moduli für die vorgekrümmten Drähte sehr gut aus dem Anstieg der Kraft-Weg-Kennlinie ermitteln.


Zusammenfassung

Mit dem prinzipiell einfachen konstruktiven Aufbau des 3-Punkt-Biegeversuches, der ja den Vorteil hat, dass es keinerlei Einspannstellen für den Versuchsdraht gibt, und den praxisgerecht aufbereiteten Lösungen der nicht-linearen Biegetheorie steht somit eine Versuchsanlage zur exakten Bestimmung einer Kraft-Weg-Kennlinie, zur Ermittlung der Biegespannung (Randfaserspannung) - speziell der Federbiegegrenze - und zur Messung von E-Moduli - auch an vorgekrümmten Drähten - zur Verfügung.

Technische Universität Ilmenau
Fakultät für Maschinenbau
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Tel.: +49 3677 69-2478
E-Mail: mathias.weiss@tu-ilmenau.de
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